上接普林斯顿微积分读本-阅读笔记

Chapter VII 指数函数和对数函数

回顾

这一大板块是作者回顾指对数函数的基本性质的一部分,个人认为可能会容易忘记的主要有以下几点:

$log_xb$中,$b>0$
$b^{log_b(y)}=y$
$log(xy)=log(x)+log(y)$
$log(\frac{x}{y})=log(x)-log(y)$
$log(x^y)=ylog(x)$
$log_b(x)=\frac{log_c(x)}{log_c(b)}$

神秘的自然对数e

一个关于复利的问题

假设你在某银行有一个账户,该银行给你一个很高的年利率0.12,一年记一次复利.这也就意味着每一年你的财富增加12%,同时也意味着在n年后,你的财富会变成原来的$(1+0.12)^n$倍.
这时候有另外一家银行,它也提供0.12的年利率,但和前一家银行不同的是,这家银行一年记两次复利,每半年记一次利率为$\frac{0.12}{2}$的复利,这样的话,你如果把钱存入这个银行,一年后,你的财富就变成了$(1+0.06)^2$倍,n年后,你的财富就会变成原来的$(1+0.06)^{2n}$倍
不难发现,复利的次数越多,你的收益就越多,因为你的利息被更多次的当做了增值的资本.
那么问题来了,如果我们复利的次数越来越多,我们的财富的增长速度会越来越快吗?或者说,这一切都有一个上限?

为了回答这个问题,我们先设一些符号:

设$r$为复利的利率,一年内一共计算$n$次,则这一年后增长的倍数就可以表示为

$$(1+\frac{r}{n})^n$$

当复利的次数越来越多的时候,倍数(设为$L$)就可以写作

$$L=\lim_{n\to \infty}(1+\frac{r}{n})^n$$

此时我们来计算这个极限:

设$h=\frac{r}{n}$,则$n=\frac{r}{h}$,那么当$n\to \infty$的时候,由于$r$是常数,$h\to 0^+$,于是原式可以替换成

$$L=\lim_{h\to 0^+}(1+h)^{\frac{r}{h}}=\lim_{h\to 0^+}((1+h)^{\frac{1}{h}})^r$$

这时,自然对数$e$实际上就等于$\lim_{h\to 0^+}(1+h)^{\frac{1}{h}}$

因此,$L=e^r$,这意味着,当你每时每刻都在复利的情况下,你的财富增长速度会达到一个非常接近于$e^r$的量.

(我承认这样直接引入自然对数的定义式比较突兀,但是当你看到$f(h)=(1+h)^{\frac{1}{h}}$的图像的时候,这种感觉就会好很多:)

在这里插入图片描述

(并且可以把自然对数理解为一个常用的极限)

对数函数和指数函数求导

基本公式

设$g(x)=log_b(x)$,那么$g’(x)$为多少呢?

根据导数的定义,我们有$g’(x)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{log_b(x+h)-log_b(x)}{h}$

这时候我们使用对数的性质对其进行化简:

$\lim_{h\to 0}\frac{log_b(x+h)-log_b(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\log_b(\frac{x+h}{x})$

$=\lim_{h\to 0}\log_b(\frac{x+h}{x})^{\frac{1}{h}}=\lim_{h\to 0}\log_b(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}$

上一节中,我们得到一个结论:$\lim_{h\to 0}(1+xh)^{\frac{1}{h}}=e^x$

因此在这里,$\lim_{h\to 0}(1+h\frac{1}{x})^{\frac{1}{h}}=e^{\frac{1}{x}}$,故将这个极限带入回去得到

$g’(x)=\lim_{h\to 0}log_b(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}=log_b(e^{\frac{1}{x}})=\frac{1}{x}log_be$

于是我们就成功证明了

$$\frac{d}{dx}log_b(x)=\frac{1}{x}log_b(e)$$

从这个式子中,我们可以发现,当$x=e$的时候,导数为$\frac{1}{x}$!,其他的任何值都不行呢!这就是$e$叫做自然对数的原因了,故

$$\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}$$

而对于底数不为e的对数来说,使用换底公式会让上面的式子更简洁一些:

$\frac{1}{x}log_be=\frac{1}{x}\frac{\ln e}{\ln b}=\frac{1}{x}\frac{1}{\ln b}$,因此

$$\frac{d}{dx}log_b(x)=\frac{1}{x\ln (b)}$$

那么指数函数呢?设$y=b^x$,于是有$x=log_b(y)$,现在对其关于y求导有

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y\ln(b)}$

于是根据链式求导法则,$\frac{dy}{dx}=y\ln(b)$

2019年11月10日21:34:23

说实话我没有想出来为什么这个可以用链式求导法则解释..

但是我可以用另外一种方法解释这个问题:

当y变化$\triangle y$的时候,x会变化$\frac{1}{y\ln(b)}\triangle y$,于是当x变化$\frac{1}{y\ln(b)}\triangle y$的时候,为了让y变化$\triangle y$,变化率就应该是原来变化率的倒数,也就是$y\ln(b)$

于是我们证明了一个很好的公式:

$$\frac{d}{dx}(b^x)=b^x\ln(b)$$

当$b=e$的时候,有

$$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$$

~~可真有趣呢~~

指数函数和对数函数的极限问题

涉及自然对数定义的极限

1. 考虑极限$\lim_{h\to 0}(1+3h^2)^{\frac{1}{3h^2}}$

看到这个极限不免想起自然对数的定义:

$$e=\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}$$

在上面$e$的极限中用$3h^2$替换$h$得到

$$\lim_{3h^2\to 0}(1+3h^2)^{\frac{1}{3h^2}}$$

这时注意到当$3h^2\to 0$时,$h\to 0$

于是

$$\lim_{h\to 0}(1+3h^2)^{\frac{1}{3h^2}}=e$$

从上面的论证不难看出,如果用任意的当$h\to0$时自身趋于0的量替换h,那么极限仍然是e,比如$h=2h^4,h=sin(h)$

2. 考虑极限$\lim_{h\to 0}(1+cos(h))^{\frac{1}{cos(h)}}$

由于$\lim_{h\to 0}cos(h)=1$,因此上面的论证就不能够用在这里了

我们其实可以直接代值得到

$$\lim_{h\to 0}(1+cos(h))^{\frac{1}{cos(h)}}=2$$

3.考虑极限$\lim_{h\to 0}(1+h^2)^{\frac{1}{3h^2}}$

不难发现这个式子和自然对数的定义式的差距就在系数上面,因此想办法将系数统一

$$\lim_{h\to 0}(1+h^2)^{\frac{1}{3h^2}}=\lim_{h\to 0}(1+h^2)^{\frac{1}{h^2}\times\frac{1}{3}}=e^{\frac{1}{3}}$$

因此$$\lim_{h\to 0}(1+h^2)^{\frac{1}{3h^2}}=e^{\frac{1}{3}}$$

4.考虑极限$\lim_{h\to 0}(1-5h^3)^{\frac{2}{h^3}}$

这时不匹配的现象就更加严重了.但我们仍然尝试着去使其匹配

$\lim_{h\to 0}(1-5h^3)^{\frac{2}{h^3}}=\lim_{h\to 0}(1-5h^3)^{\frac{1}{-5h^3}\times(-10)}$

注意到$\lim_{h\to 0}-5h^3=0$

则原极限$=\lim_{-5h^3\to 0}(1-5h^3)^{\frac{1}{-5h^3}\times(-10)}=e^{-10}$

指数函数在0附近的行为

显然,

$$\lim_{x\to 0}e^x=e^0=1$$

我们可以利用这一点来进行一些极限的计算

1.考虑极限$\lim_{x\to 0}e^{x^2}$

因为$\lim_{x\to 0}x^2=0$,故可以直接替换得到

$$\lim_{x\to 0}e^{x^2}=0$$

和上面的那题很像,如果用任意的当$h\to0$时自身趋于0的量替换h,那么极限仍然是0

2.考虑极限$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^2}sin(x)}{x}$

由于对数是处于乘积(商的形式也差不多)的形式中,我们可以把这个极限写开得到

$\lim_{x\to 0}e^{x^2}\frac{sin(x)}{x}=1\times 1=1$

3.考虑极限$\lim_{x\to \infty}\frac{2x^2+3x-1}{e^{\frac{1}{x}}(x^2-7)}$

这就是商和乘积的形式的一个综合了,实际上做法和上面那个差不多:

$\lim_{x\to \infty}\frac{2x^2+3x-1}{e^{\frac{1}{x}}(x^2-7)}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}}\times\frac{2x^2-3x-1}{x^2-7}$

由于$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0$,故$\lim_{x\to\infty}e^{\frac{1}{x}}=1$

因此原极限$=1\times\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-3x-1}{x^2-7}=1\times2=2$

4.考虑极限$\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}$

当对数不处于乘积或商的极限中的时候,把$\lim_{x\to 0}e^x$看成1就不是那么奏效了.但是这题有一个很好的特征:分母上有一个虚拟变量,这就是伪装的导致嘛,因此设$f(x)=e^x$

根据我们之前对指数函数求导的结论,

$f’(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\ln(e)=e^x$

要得到答案,我们只需要把上式中的x变成0,也就是$\lim_{h\to 0}\frac{e^{0+h}-e^0}{h}=e^0$

于是我们得到一个比较有用的结论:

$$\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$$

当然,将h换成相应的匹配的很小的量都是满足条件的(这是多次提到的替换对应法则,也就是作者说的匹配技巧),例如

$\lim_{h\to 0}\frac{e^{3s^{5}-1}}{s^{5}}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{3s^{5}-1}}{3s^{5}}\times 3=1\times 3=3$

对数函数在1附近的行为

(注意这里是1不是0)

$$\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}{h}=?$$

实际上这又是一个导数伪装的极限!(说实话我一开始还真没看出来,看来这种方法还掌握的不咋地啊.导数伪装的极限本质上是构造法的一个应用)

设$f(x)=\ln(x)$,$f’(x)=\frac{1}{x}$

于是$\lim_{h\to 0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}=\frac{1}{x}$

当$x=1$的时候,原方程可以化为

$\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)-\ln(1)}{h}=\frac{1}{1}$

$\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$

于是愉快的证明了

$$\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$$

这一个结论和预期有很大不同,因为$\ln(1)=0$,但事实就是这样奇怪,可能是因为极限和函数值并没有直接的联系吧(毕竟这个函数在0处没有定义)

同样的,匹配技巧适用于这里

比如:尝试证明$\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1-7h^2)}{5h^2}=-\frac{7}{5}$

指数函数在无穷处的行为

根据常识(图像)有:

$$\lim_{x\to\infty}e^x=\infty,\lim_{x\to-\infty}e^x=0$$

在这之后,根据我们高中学习的相关知识,不难有:

$$
\lim_{x\to\infty}r^x=\begin{cases}
\infty(r>1)\1,r=1\0,0<=r<=1
\end{cases}
$$

但是如果不从图像的角度,我们应该如何去证明这个结论呢?

用到一个技巧:$r^x=e^{\ln(r^x)}=e^{x\ln(r)}$

于是有$\lim_{x\to \infty}r^x=\lim_{x\to\infty}e^{x\ln(r)}$

由于r是一个常数,因此对r分类讨论就有

$$
\lim_{x\to\infty}x\ln(r)\to\begin{cases}
\infty,r>1\0,r=1\-\infty,0<=r<1
\end{cases}
$$

于是乎,利用前面单独对e推出来的结论,我们有

$$
\lim_{x\to\infty}e^{x\ln(r)}=\begin{cases}
\infty(r>1)\1,r=1\0,0<=r<=1
\end{cases}
$$

指数函数和多项式函数的增速

一般来讲,设$u$为一个多项式型函数,设$t$为一大的,正的多项式型函数,设$v$为一个常数,那么

$$\lim_{x\to\infty}\frac{u}{v^t}=0$$

具体的证明需要使用后面的洛必达法则,但是这个还是很好理解的(至少对于OIER来讲是这样子的)

例题:考虑极限$\lim_{x\to-\infty}(x^5+3)^{101}e^x$

设$t=-x$,那么

$\lim_{x\to-\infty}(x^5+3)^{101}e^x=\lim_{t\to\infty}\frac{(-t^5+3)^{101}}{e^t}=0$

对数函数在正无穷附近的行为

因为我们不能够对一个负数取对数,因此不需要研究在负无穷处的对数函数的行为

因为对于任意正数N,令$x=e^N$,则$ln(x)=N$,由于N可以无穷大,那么$\ln(x)$也可以无穷大.因此就有

$$\lim_{x\to\infty}\ln(x)=\infty$$

对数函数的增速

实际上对数函数增长的十分缓慢,比如说$e^{1000}$,它比宇宙中的原子数目都要大,但它的对数仅仅有1000…

更详细的说:

$$\forall a\in(0,\infty],\lim_{x\to\infty}\frac{log_b(x)}{x^a}=0$$

对数函数在0附近的行为

根据图像,我们有

$$\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$$

例题:考虑极限$\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)$

为了利用上面的结论,设$t=\frac{1}{x}$,则:

$\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=\lim_{t\to \infty}\frac{\ln(\frac{1}{t})}{t}$

根据上面的结论,你可以把$\ln(\frac{1}{t})$看做一个常数,于是

$$\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0$$

本题中我们用到了一个用$\frac{1}{t}$来代替$x$的技巧,这样就使得我们做出了本题,并且还可以引出另外一个结论:

$$\forall a\in(0,\infty],\lim_{x\to 0^+}x^a\log_b(x)=0$$

取对数求导法

先来看一个例子:求$\frac{d}{dx}x^{sin(x)}$

看似无从下手,实际上我们可以利用指对数法则解决指数的问题:

设$y=x^{sin(x)}$

则

$$\ln(y)=\ln(x^{sin(x)})=sin(x)\ln(x)$$

隐函数求导得到

$$\frac{d}{dx}\ln(y)=\frac{d}{dx}sin(x)\ln(x)$$

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=cos(x)\ln(x)+sin(x)\frac{1}{x}$$

$$\frac{dy}{dx}=ycos(x)\ln(x)+sin(x)\frac{y}{x}$$

将$y=x^{sin(x)}$代入得到

$$\frac{dy}{dx}=x^{sin(x)}cos(x)\ln(x)+sin(x)\frac{x^{sin(x)}}{x}$$

因此

$$\frac{dy}{dx}=x^{sin(x)}(cos(x)\ln(x)+\frac{sin(x)}{x})$$

这种方法叫做取对数求导法,本质是利用对数法则解决指数函数求导问题

具体的步骤总结如下:

设要对函数$y=f(x)^{g(x)}$求导,那么

对等号两边取自然对数,得到$\ln(y)=g(x)\ln(f(x))$
对等号两边隐函数求导,得到$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=和x有关的东西$
同时乘以y,可以得到单独的$\frac{dy}{dx}$这一项,然后用原来的表达式$f(x)^{g(x)}$换掉$y$,就得到了答案

例题:求$\frac{d}{dx}((1+x^2)^{\frac{1}{x^3}})$

设$y=(1+x^2)^{\frac{1}{x^3}}$

于是

$$\ln(y)=\ln((1+x^2)^{\frac{1}{x^3}})=x^{-3}\ln(1+x^2)$$

$$\frac{dy}{dx}\ln(y)=\frac{d}{dx}(x^{-3}\ln(1+x^2))$$

$$\frac{dy}{dx}\frac{1}{y}=-3x^{-4}\ln(1+x^2)+x^{-3}\frac{d}{dx}\ln(1+x^2)$$

$$\frac{dy}{dx}=-3yx^{-4}\ln(1+x^2)+yx^{-3}(\frac{d\ln(1+x^2)}{d(1+x^2)}\frac{d(1+x^2)}{dx})$$

$$\frac{dy}{dx}=-3yx^{-4}\ln(1+x^2)+yx^{-3}(\frac{1}{1+x^2}(2x))$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-3y\ln(1+x^2)}{x^4}+\frac{y(\frac{1}{1+x^2}(2x))}{x^3}=y(\frac{2x^2-3(1+x^2)\ln(1+x^2)}{(1+x^2)x^4})$$

最后

$$\frac{dy}{dx}=(\frac{2x^2-3(1+x^2)\ln(1+x^2)}{x^4(1+x^2)^{1-\frac{1}{x^3}}})$$

另外一道例题求证:

$$\frac{d}{dx}\frac{(x^2-3)^{100}3^{sec(x)}}{2x^5(log_7(x)+cot(x))^9}=$$

$$(\frac{200x}{x^2-3}+\ln(3)sec(x)tan(x)-\frac{5}{x}+\frac{9}{log_7(x)+cot(x)}(csc^2(x)-\frac{1}{x\ln(7)}))\\times \frac{(x^2-3)^{100}3^{sec(x)}}{2x^5(log_7(x)+cot(x))^9}$$

这就留作练习吧~~~

取对数求导法的另外一个应用

结合上复数可以证明

$$\forall x\in Z,\frac{d}{dx}(x^a)=ax^{a-1}$$

指数增长和指数衰变

一个重要结论: 设$\frac{dy}{dx}=ky$,那么$y=Ae^{kx}$,其中k为某个常数

这个结论的证明暂时不提供,这是在第30章才会讨论的东西,但是这个东西很有意思! 一个量的变化量和它自身的大小有关系! 这其实就是指数增长和衰变的本质了.

指数增长

假设有一群兔子,我们设$P(t)$为$t$时刻的种群中兔子的数量,那么根据前面的指数变化的结论,我们将变量稍微换一下就有下面的式子:

$$P(t)=P_0e^{kt}$$

接下来讲一下我们是怎么得到这个式子的:

根据上面的式子:$P(t)=Ae^{kt}$,因此$P(0)=A\times e^{0}=A$

因此将$A$换成$P(0)$得到上式

于是我们就有了一个经典的指数增长方程如上所示,其中那个比较特殊的变量k是指增长常数.(不难发现,兔子们的xing致越高,k越大..~~马克思列宁主义要求我刹车,好吧..~~)

一个例题:

假设三年前的兔子有1000只,现在增长至64000只,那么从现在算起,一年之后兔子的总数会是多少呢?此外,总数从1000增长到4e5(4后面跟上5个0)需要多长时间呢?

已知$P_0=1000$,于是$P(t)=1000e^{kt}$

接下来就需要求出增长常数了

因为$P(3)=64000$,于是不难求出增长常数为

$k=2\ln(2)$

于是就解出了指数增长方程

$$P(t)=1000e^{2\ln(2)t}$$

于是接下来的问题就只有初中难度了,第一问的答案是$256000$,第二问的答案是$t=2+\frac{\ln(5)}{\ln(2)}$

这时不妨感性理解一下:从上面的计算得出,大概要4年才能够有二十五万六千只兔子,但再过大约三个半月左右,就可以有四十万只兔崽子了,这就是指数增长,增长的真的是越来越快

指数衰变

众所周知,铀会逐渐衰变成铅元素.假设你有一块铀元素,再假设铀元素在任意的七年周期内衰变的概率是0.5,那么7年后,这块”铀”实际上只有一半是真正的铀原子了,在此基础上再过7年,就只有一半的一半铀原子,也即是0.25的铀原子,在过7年,0.125……它会衰变的越来越慢.

因此,设$P(t)$是铀原子在时刻$t$时候时的存余量,根据指数变化的本质(在自身基础上的变化)那么就可以建立方程:

$$\frac{dP}{dt}=-kP$$

2019年11月13日21:11:21:说实话我觉着这里没有怎么解释清楚这个方程的来历,但是有了这个方程,以及本节开头那个重要结论,后面的东西都还是比较合理的

这里的负号意思是说P是以一个和P成正比例的速率衰变的.你拥有的原子越多,衰变的越快,这和上面的例子是一致的.

因此,重复上面的推理过程,将$P(t)$代入,不难得到方程

$$P(t)=P_0e^{-kt}$$

这时我们把$-k$叫做衰变常数

我们一般还把某些原子数量减半的时间长度叫做半衰期,每过一个半衰期,$P$就要乘一个0.5

在上面的铀元素的例子中,我们可以尝试求出衰变常数:设$t=7$,于是有$P(7)=\frac{1}{2}P_0$,于是有方程

$\frac{1}{2}P_0=P_0e^{-7k}$

$\frac{1}{2}=e^{-7k}$

取对数得到$\ln(\frac{1}{2})=-7k$

于是$k=\frac{\ln(2)}{7}$

于是就得出了衰变方程

$$P(t)=P_0e^{-t(\frac{\ln(2)}{7})}$$

用同样的推理方式可以得到一个通用公式:

设半衰期为$t_1$,则

$$P(t)=P_0e^{-\frac{\ln(2)}{t_1}t}$$

一个例题:

假设有50t铀矿,半衰期仍然是7年,那么10年后铀矿中还剩多少铀原子呢?且需要多久,铀矿中会只剩1t铀原子呢?

正如我们之前所见,衰变方程是

$$P(t)=P_0e^{-t(\frac{\ln(2)}{7})}$$

由于$P_0=50$,则$P(t)=50e^{-t(\frac{\ln(2)}{7})}$

因此将$t=10$代入,可以得到一个近似值$18.4t$

第二问中,将$P(t)=1$代入,取一次对数,然后得到了$t=\frac{7\ln(50)}{\ln(2)}$

带入一个近似值得到$39$年

双曲函数

定义双曲余弦函数和双曲正弦函数 为

$$cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

$$sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

这和三角函数在定义上并没有什么太大关系对吧

但是,$cosh^2(x)-sinh^2(x)=\frac{e^{2x}+2e^0+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2e^0+e^{-2x}}{4}=\frac{2+2}{4}=1$

除开那个减号,其他的就和三角函数有点像了对吧

接下来对双曲函数求导试试看:

$\frac{d}{dx}sinh(x)=\frac{d}{dx}(\frac{e^x-e^{-x}}{2})=\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}=cosh(x)$

另外一方面,$\frac{d}{dx}cosh(x)=\frac{d}{dx}(\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2})=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=sinh(x)$

这也就是说:

$$\frac{d}{dx}sinh(x)=cosh(x) \ , \ \frac{d}{dx}cosh(x)=sinh(x)$$

接下来就是各种其他的双曲线函数了,比如

$tanh^2(x)=\frac{sinh(x)}{cosh(x)},sech(x)=\frac{1}{cosh(x)},csch(x)=\frac{1}{sinh(x)},coth(x)=\frac{1}{tanh(x)}$

同样的,我们可以用求导法则求出如下结论:

$$\frac{d}{dx},tanh(x)=sech^2(x),\frac{d}{dx}sech(x)=-sech(x)tanh(x)$$

$$\frac{d}{dx}csch(x)=-csch(x)coth(x),\frac{d}{dx}coth(x)=-csch^2(x)$$

Chapter VIII 反函数和反三角函数

暂时跳过

Chapter IX 导数和图像

函数的极值

全局极值和局部极值

极值,这个定义其实是很粗糙的,特别是当你看了下面的定义后:

定义:

当$x=a$的时候,$f(a)$是函数$f$整个定义域里面的极值,我们就叫它为全局极值(绝对极值)

在包含$a$的一小段区间内,如果在$x=a$处,$f(a)$有最大值,我们就把这点称作局部极值,或者是相对极值

很明显,每一个全局极值一定是某些局部的极值,且以上两个极值个数可能不止一个

极值定理

前面章节里,我们提到过一个最大值最小值定理,也就是,连续函数在一个闭区间$[a,b]$内一定有一个全局极值.当然如果函数不是连续的,或者说区间是一个开区间,那么可能就没有极值

但是上面这个有点粗糙的定理并没有告诉我们极值的位置.

但是联系上导数仔细一想,我们发现在极值处导数为0或者不存在!于是就引出了极值定理:

极值定理: 假设函数$f$定义在开区间$(a,b)$内,并且点$c$在$(a,b)$区间内,如果点$c$为函数的局部最大值或最小值,那么$f’(c)=0$或不存在

注意: 这个命题正着说是正确的,但是反过来就不对了.也就是说导数值为0或不存在的点(不妨叫做临界点)一定是局部最大值或最小值就不一定成立

上述定理仅适用于开区间,具体原因可以利用函数$f(x)=x^3$来思考

那么如果非要考虑闭区间又怎么办呢?那就需要多考虑一下两个端点的函数值了(如果你仔细想过$x^3$这个例子你就会明白的)

求全局最大值和最小值

有了极值定理,求函数的最大值和最小值就易如反掌了(只要你会求导并且会分析函数)

因为每一个全局极值就是局部极值,局部极值只可能出现在导数为0或不存在的临界点,于是找出临界点并求出对应的函数值,其中最大的就是全局最大值,最小的就是全局最小值.

用步骤来描述就是:

找出$f’(x)$,并且列出在$(a,b)$中的临界点
将所有的临界点和端点$x=a$,$x=b$的函数值全部求出来
在这些值中间找个处极值即可

例题:

求证:$f(x)=12x^5+15x^4-40x^3+1,x\in[-1,2],$则$f(x)\in[-12,305]$

注意:当函数的定义域没有什么限制的时候,列表里可能会有正负无穷这一临界点.这个时候如果正负无穷对应的极限值为极值,那么函数就可以认为没有极值

罗尔定理

罗尔定理: 假设函数$f$在闭区间$[a,b]$内连续,且在开区间$(a,b)$内可导,如果$f(a)=f(b)$,那么在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$,使得$f’(c)=0$

这其实很好理解的,举个生动的例子:你开着飞船从地球出发飞到了冥王星,我在地球上看着你起飞.让我们假设你的轨道只能是直线,如果多年后我再次看见你的飞船出现在地球上,那么我可以断言,在这段时间内的某一个时刻,你的飞船的速度为0.

因为你的轨道是直线,因此你如果想要回来的话,你一定需要刹车,然后掉头,或者说倒着开回来.那么在这个过程中你的飞船一定会有一个时候是静止的.

例题:

假设函数$f$的二阶导数处处存在,且对于所有的实数x,$f’’(x)>0$,求证函数和x轴至多有两个交点

中值定理

中值定理: 假设函数$f$在闭区间$[a,b]$内连续,且在开区间$(a,b)$内可导,如果$f(a)=f(b)$,那么在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$,使得$f’(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

再次举一个例子理解这个问题:

设$f(t)$是你在时刻$t$的位移,你开始和结束运动的时刻分别为$a$和$b$,那么你的平均速度就可以表示为$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$,而$f’(c)$就是你在时刻c的瞬时速度.由于你在这个过程中一定会由一个比均速低的速度加速到比均速高的速度,因此在某个时刻你的速度一定会等于平均速度

练习:

利用中值定理推导出罗尔定理
证明方程$2xe^{x^2}-e+1=0$有解(可以使用介值定理和中值定理)

中值定理证明本题的方法(本质是构造法):

在这里插入图片描述

有函数$f(x)$满足对于所有的实数x处处可导且$f’(x)>4$,试证明此函数的图像和线性函数$y=3x-2$最多只有一个交点

中值定理的几个推论

1.如果一个函数在区间内任意一点处的导数都为0,那么这个函数一定是一个常数函数

证明:

固定一点a,则对于任意的b,有

由中值定理可得:$f’(t)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b},t\in(a,b)$

将导数为0代入则有$f(a)-f(b)=0$,也就是$f(a)=f(b)$

函数值处处相等,这就是常数函数嘛

得证

2.如果对于任意实数x都有 $f’(x)=g’(x)$, 那么 $f(x)=g(x)+C,C$ 是常数

证明:

由于$f’(x)=g’(x)$,则$f’(x)-g’(x)=0$,如果设$h(x)=f(x)-g(x)$,那么$h’(x)=0$

正如前面的所说的一样,$h(x)$是一个常数函数,不妨设为$C$

那么就有$C=h(x)-g(x)$,得证

2.如果函数的导函数始终为正,那么函数为增函数

证明:

设$a>b$

则有$f’(t)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

因为$a-b>0$,所以$f(a)-f(b)>0,f(a)>f(b)$

由于对于任意的$a>b$都有$f(a)>f(b)$,函数是增函数

(导数为负也可以用同样的思路证明的)

二阶导数和图像

二阶导数实际上可以告诉我们很多关于图像的信息

假设对于区间$x\in(a,b),f’’(x)>0$,那么就可以得到结论,在这个区间内导函数$f’(x)$始终是增函数

为什么呢?不妨把导函数看做一个函数,那么二阶导就是这个函数的一阶导,而由于前面中值定理的推论,一个函数在一个区间内如果导数为正,那么这个函数是一个增函数

好了,既然是一个增函数,那么在区间$(a,b)$中,函数的斜率始终在增加,于是我们定义这种情况为凹向上函数,就像这样:

在这里插入图片描述

当二阶导为负的时候,情况就反了过来,这时我们把这种情况定义为凹向下,就像这样:

在这里插入图片描述

最后我们定义一个东西,拐点

拐点左侧的函数的凹性和右侧的凹性不同

当然了,只要拐点处存在二阶导,那么它一定等于0,而如果二阶导等于0,此处不一定是拐点

拐点有一个典型的特征:拐点一边的曲线一定在切线之上,另一边在切线之下,就像这样:

在这里插入图片描述

对导数为零的点的分类

假设有一个函数以及一个常数c使得$f’(c)=0$,那么这个点到底有什么特殊呢?

首先可以很确定的说,$c$是函数$f$的临界点

其次呢,可能$x=c$是局部最最大值,或是最小值,还可能是水平拐点.画出来大概就这几种情况

在这里插入图片描述

但具体是哪个情况呢?这时我们可以使用导数(一次导数和二次导数)来解决这个分类问题

使用一次导数

假设$f’(c)=0$,这时有:

如果从左往右通过c点,一次导数的符号由正变负,那么c点为局部最大值
如果从左往右通过c点,一次导数的符号由负变正,那么c为局部最小值
如果从左往右通过c点,一次导数的符号不发生变化,那么c点位水平拐点

画一下图像就可以很好的理解这个问题了

使用二阶导数

假设$f’(c)=0$,则:

如果$f’’(c)<0$,那么$x=c$为局部最大值
如果$f’’(c)>0$,那么$x=c$为局部最小值
如果$f’’(c)=0$,那么对不起,你不能够判断发生了什么,你需要使用一阶导来解决这个问题

画一下图像就可以明白这个的意思了

Chapter X 绘制函数图像

暂时跳过

Chapter XI 最优化和线性化

(2020,2,22:我回来啦!!~~为什么这天的数字这么二啊~~)最优化和线性化是微积分的两个实际应用,具体有多实际呢,看了就知道了哈.

最优化

最优化是什么意思,很简单,就是让一件事情尽可能的好,具体怎么好呢,这要看你的评价标准了.但是无论如何,这个最优一定可以**表现为一个数量的最大或最小,**因此我们接下来要讨论其实是最大化和最小化

一个最优化的一科四暗牧破(example)

很简单,求$f(x)=x(10-x),x\in [2,8]$的最大值

根据前面讲到的方法,我们列出潜在最大值点有x=2,8,5.

2,8是因为其作为端点,5是因为这里的导数值为0

然后代值得到最大值存在于当x=5时,此时我们分析的问题有最优解

最优化的一般方法

由上面的简单试探我们可以归纳出一般方法:

首先要得到一个只和一个变量有关的函数关系

然后对其求导,得出临界点

之后再代入值,得到最优解

线性化

线性化就是使用导数去估算特定的量,很巧妙的一种方法

一个例子

让我们来估算$\sqrt 11$吧

一般来讲,我们会用代值法计算,但这里提供一种不一样的方法

无标题.png

看图中的那条直线,这是函数在点(9,3)的切线.发现没有,这条直线在9~11这片区域和函数很接近,几乎可以说是一样的,因此我们如果把这个切线的方程求出来后代入x=11就可以得到一个很好的近似了.

经过计算,这条直线的方程为$y-3=\frac{1}{6}(x-9)$,代入11得到$\sqrt 11$约等于$3\frac{1}{3}$,也就约为3.317,是一个比较精确的答案

Chapter XII 洛必达法则和极限问题总结

暂时跳过

Chapter VII 指数函数和对数函数

回顾

神秘的自然对数e

一个关于复利的问题

更多对e的探究

e的取值

经典极限

对数函数和指数函数求导

基本公式

相关练习

指数函数和对数函数的极限问题

涉及自然对数定义的极限

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对数函数在0附近的行为

取对数求导法

取对数求导法的另外一个应用

指数增长和指数衰变

指数增长

指数衰变

双曲函数

Chapter VIII 反函数和反三角函数

Chapter IX 导数和图像

函数的极值

全局极值和局部极值

极值定理

求全局最大值和最小值

罗尔定理

中值定理

中值定理的几个推论

二阶导数和图像

对导数为零的点的分类

使用一次导数

使用二阶导数

Chapter X 绘制函数图像

Chapter XI 最优化和线性化

最优化

一个最优化的一科四暗牧破(example)

最优化的一般方法

线性化

一个例子

Chapter XII 洛必达法则和极限问题总结