Chapter XIV 积分

求和符号

又叫$sigma$(西格玛),怎么写下面有,怎么使用…自己去网上找吧,不再赘述

考虑这样一个问题:已知一辆汽车在某一时段内每一时刻的行驶速度,求其在这个时间段的总位移?

显然,当速度为一个定值的时候不是很简单吗对吧,直接$v\times t$完事

但是当速度-时间图像成了这个样子:

我们只能够对每一段速度不变的区间使用$s=v\times t$,然后求$\sum v_i\times t_i$,如果使用平均速度的话会得到一个不精确的解

但实际上更加靠近现实的情况中,汽车的速度变化很快,我们不妨将速度相同的时间段划为一个区域(无论这个区间是有多小),那么整个过程就被分成了很多个区域,不妨设成共有$m$段分区,每一段分区结束于$t_j$时刻,那么这时的路程就变成了

$$\sum_{j=1}^m v_j\times(t_j-t_{j-1})$$

不难看到,这里的位移其实就是上图中的阴影面积.

上面的情景假设其实还有一个瑕疵:加速不可能一下达到目标速度,这需要一定时间.因此不妨将速度看成一个连续的函数如图所示:

在这里插入图片描述
这里的路程(也可以认为是位移,因为没有倒车)就是图中的阴影部分面积

但是这个面积怎么求?显然不好求,因为不规则.那就让它规则一下如何?沿用前面的思路,将这个图像均匀分区(也就是每一块分区的长度相近),然后把这一分区的速度近似看成这一分区内某一点的速度,然后得到这个:

在这里插入图片描述
再多分一点得到这个:

在这里插入图片描述

显然,分的越多,面积越接近原来的面积.

当我们让我们分出来的最大区间趋于零的时候,就可以得到一个精确的答案了,也就是说:

实际面积=$\lim_{mesh \to 0}\sum_{j=1}^{n}v_j\times(t_j-t_{(j-1)})$

当然还有个问题,如果我们选取的区间和代表每个区间的值不一样的话,得出来的面积也会不一样啊,就像下面这样:

在这里插入图片描述

图中第一个图是把每个区间的最大值当做区间速度,第二个是把最小值当做区间速度.实际上,当最大区间长度趋近0时,这两个面积的极限是一样的.