复数的概念

  • 引入i满足$i^2=-1$,则$\sqrt{-7}=\sqrt 7 i$

  • 通式:$z=a+bi$,其中a为实部,b为虚部

  • 复数的分类:当b=0的时候,z为实数,b!=0时,z为虚数,当a=0的时候z为纯虚数

  • 两个虚数$a+bi=c+di$相等时,$a=c,b=d$

复数的几何意义

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  • 如图的坐标系叫做复平面直角坐标系,y为虚轴,x为实轴

  • 复数$z=a+bi$在复平面坐标中可以用点或向量$(a,b)$表示

  • 复数的模:$z=a+bi$的模为$\sqrt{a^2+b^2}$

圆的复数表示

对于一个复数$z$,式子$|z-(a+bi)|$表示的是复数$z$在复平面上的点到点$(a,b)$的距离(用向量减法即可证明)

如果有$|z-(a+bi)|=c$,那么这个式子即表示以$(a,b)$为圆心,$c$为半径的圆,$z$所代表的点在圆上

复数加减法

实部加实部,虚部加虚部即可

如:$3i+7-2i+3=i+10$

这种计算规则决定了如下关系:两个复数$z_1,z_2$所表示的点为$m_1,m_2$,则$\vec{Om_1}+\vec{Om_2}=z_1+z_2$,因为向量加法是x与x相加,y与y相加,复数加法是实加实,虚加虚,正好等价

复数乘法

直接按照多项式相乘后展开,然后合并同类项(不要忘了$i^2=-1$)

如$(1+2i)(3+4i)(-2+i)=-25i$

共轭复数

实部相等,虚部互为相反数的两个复数是共轭复数

$z=a+bi$,则其共轭复数是$\overline{z}=a-bi$

(其实我们常用的平方差中的两个因式就称作互为共轭式)

共轭复数的性质

$|z|=|\overline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}$

$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$

$z\times \overline{z}=|z|^2=|\overline{z}|^2$

复数除法

使用分母实数化,也就是分数线上下两端同时乘上分母的共轭复数,从而将分母化为常数,转化为加减乘法

$\frac{7+i}{-3+4i}=\frac{(7+i)(4i-3)}{9+16}=\frac{-17}{25}+\frac{-31}{25}i$

复数的乘方中的周期现象

$i=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,i^5=i$,因此$i^n$这个数列以4为一个周期.由于这种特殊性质,我们可以借用这种思路来计算一些高次的复数

求:$(\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{\sqrt 2}{2}i)^{2015}$

列表如图:

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由于$\frac{2015}{8}=251…7$,于是$(\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{\sqrt 2}{2}i)^{2015}=\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 2}{2}i$

求复数的模

有如下两个规律(暂时不知道如何证明):

  1. 两个复数的积的模等于两个复数模的积
  2. 两个复数商的模等于两个复数模的商

然后可以求解一些较为复杂的复数

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复数与方程

对于一个实系数方程,如果判别式算出来小于0,那么一定有一对互为共轭复数的根,因为根据韦达定理$x_1x_2$为实数

如果对于复系数方程,已知有一个实数根,那么可以假设这个根为b,代入原式中,根据整理后的式子的实部虚部都为0得到这个实数根